Cut your teethを直訳すると「歯を切る」となり、意味は想像ができなさそうですね。しかし、My baby is cutting his first teeth.とは、「乳歯が生え始めている」という表現です。そこから少し派生して、Cut one’s teethは「経験を積む」という意味で使われます。
例えば、She cut her teeth on speaking in front of major clients while working at XYX.「彼女はXYZ社で働いているとき、主要なクライアントの前でプレゼンを行う経験を積んだ」となります。このように、Cut one’s teeth on~で、「~の経験を積む」の意味。また、The chef cut her teeth at a restaurant in Paris.のようにCut one’s teeth at~で「~で経験を積む」の意味。
由来が「赤ちゃんの歯が生え始める」なので、「経験を積む」と言ってもベテランの人が経験を積むのではなく、駆け出しの人などが経験を積むときに使われる表現です。
Writer

One Month Program
グローバルで活躍できる人材のための英語情報を発信します。
ビジネスに特化した1か月の超短期集中英語プログラム
https://www.ten-nine.co.jp/onemonthprogram/
運営会社:【通訳・翻訳・英語教育】テンナイン・コミュニケーション
https://www.ten-nine.co.jp/